Généralités
Ce que l'on appelle couramment les équations primitives atmosphériques sont en fait une version simplifiée des équations dîtes de Navier-Stokes.
Pour simplifié ces équations, on fait donc des approximation qui sont les suivantes :
- La composante horizontale du mouvement est largement plus importante que la composante verticale ( on peut alors négliger l'accélération de la vitesse verticale devant celle de la vitesse horizontale, ce qui amène à la relation de l'hydrostatique. ).
- La pellicule de fluide atmosphérique est mince par rapport au rayon de la Terre(approximation de la pellicule sphérique mince).
- L'atmosphère est en rotation et est isolée .
- Il n'y a pas d'échange de chaleur avec l’extérieur ( hypothèse adiabatique ).
Si l'on regarde le flux à grande échelle dans l'atmosphère, on remarque que ces approximations collent assez bien à la réalité. En effet a grande échelle, le flux à une composante horizontal beaucoup plus importante que sa composante verticale par exemple.
C'est avec ces équations que les modèles de prévisions numérique prévoient le temps futur d'ailleurs ( avec d'autre équation dedans bien sur ).
Ces équations primitives de base sont donc au nombre de 3 :
- Equation de continuité ( conservation de la masse ).
- Equation du mouvement ( conservation du moment angulaire ).
- Equation de la thermodynamique ( conservation de l'énergie ).
Selon la simulation désirée on peut rajouté aussi une Equation de l'humidité spécifique, si l'on veut incorporé le fait que l'atmosphère contient de l'eau sous forme de vapeur d'eau.
Equations primitives atmosphérique en coordonnées verticale de pression
Ces équations peuvent être calculé en différentes coordonnées . Si l'on utilise la pression comme coordonnées verticale et que l'on néglige la courbure de la terre on obtient une représentation assez simple des processus mise en jeu .
1) Pour l'équation du mouvement
On prend en compte toute les force qui agissent sur le fluide c'est à dire ( Coriolis, force centripète, force de gravité, force de pression et la friction ). On obtient ainsi une équation qui montre que le mouvement d'une particule est due à l'ensemble des force s'exerçant sur le fluide au point P et à l'instant T :
En partant de la gauche ; le premier terme est la dérivée du mouvement par rapport au temps . Il est égale au 2e - 3e - 4e + 5e + 6e terme . Le 2e terme c'est Coriolis, le 3e c'est la force de pression, le 4e c'est la gravité, le 5e c'est la force centripète et le dernier c'est la friction .
Quand on fait l'approximation géostrophique, on néglige la friction et la force centripète et l'on obtient une équation ou coriolis et le gradient de pression s'équilibrent. Le fait que le mouvement est purement horizontal ( équilibre géostrophique donc vent non divergent ) fait que le terme de gravité est nul . Donc les équation pour le vent géostrophique sont :
2 )Equation de continuité
Elle stipule qu'il n'ya aucune création et aucune perte de masse . Elle lie donc la divergence/convergence de la masse horizontal avec le mouvement vertical . ( Si l'on chauffe les basse couche de l'atmosphère par exemple à un endroit d'échelle locale , l'air va monté et va créer un vide en dessous de lui qui sera compensé par un apport d'air horizontal ).
Elle se note :
Ici on dérive le vent zonal par rapport à l'axe zonal, le vent méridien par rapport a l'axe méridien et le mouvement vertical par rapport a la verticale ( en coordonnées de pression d'ou le p ).
Tout cela est égal à 0 car rien ne se perd et rien ne se crée en terme de masse. Si un des 3 membres évolue , il sera compensé par un autre, de telle façon que l'équation soit toujours = à 0.
3) Equation de la thermodynamique
Elle est liée au principe de la conservation de l'énergie .
Elle se noté :
Bon ce qu'il faut retenir ici c'est que l'énergie se conserve . Si un système fermé voit son énergie interne changée, cette variation est égal à l'énergie échangée avec l’extérieur sous forme de travail & sous forme de chaleur. Si l'on additionne tout cela, on revient a la même valeur de départ . On a réussi
Equations primitives en coordonnées sigma
On avait dit que ces équations pouvait être calculé en différentes coordonées . Passons maintenant à leur forme dans des coordonnées dîtes sigma.
Pour décrire vite fait ce qu'est cette coordonnées sigma imaginez qu'on coupe la troposphère( avec un couteau capable de couper de l'air .. ) en 3 parties : Le sol, le milieu de la troposphère et la tropopause .
Le sol vaudra 1 sigma, le milieu de la troposphère vaudra 0,5 sigma et la tropopause 0 sigma .
Quand on utilise des coordonées sigma en météo, on fait géneralement aussi une projection polaire stéréographique . Ne paniquez pas, celà va allez
Cette projection montre juste la gueule de la carte géographique sur laquelle on travail. On voit l'Hémisphère Nord avec le pôle au milieu de la carte en fait . CE type de carte est assez déformée et c'est pour celà qu'on utilise pas cette pratique pour les tropique et l'équateur car la déformation devient trop importante , voici à quoi celà ressemble :
Ce qui nous donne une autre simplification des équations primitives atmosphérique, mais moins intuitive que la première . C'est pour cela que je en prendrais que 2 exemple.
Pour la température :
Pour l'épaisseur en pression :
Ici on raisonne plutôt en terme de quantitée arbitrairement petite ( le delta minuscule ), alors que dans le premier cas ( plus simple à mon gôut) on raisonne en terme d'évolution temporelle ( d'ou la dérivation ).
On voit donc que ces équations ne sont pas très simples ( alors que ce sont déjà des versions simplifiées des équations de Navier stokes ).
Les solutions de ces équations nous donnent des résultats qui ont la forme d'ondes sinusoïde :
Celà met déjà en évidence le caractère ondulatoire de l'atmosphère aux moyenne latitudes et a grande échelle .
Evidemment, on passe par des simplification ( on néglige les non linéarité & l'on fait des approximations ), mais cela donne un bon aperçu de la gueule des fondements dynamique de l'atmosphère ^^
Voilà j'ai fait un petit tour d'horizon, vous me direz quand même si vous avez un temps soit peu suivit ou je voulais en venir
Dernière édition par PassionMétéo le Lun 22 Avr - 16:26, édité 3 fois