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    Équations météorologiques de Base ( Primitives )

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    Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mar 26 Fév - 14:51

    J'aimerais me lancé un défi, de faire comprendre à ceux qui voudrais aborder le côté matheux de la météo, les équations de base météorologique . Personnellement je trouve que dans les livre et sur le Net ça reste trop abstrait pour des néophytes donc je vais essayé de remodelé tout cela a ma manière Razz

    Généralités

    Ce que l'on appelle couramment les équations primitives atmosphériques sont en fait une version simplifiée des équations dîtes de Navier-Stokes.

    Pour simplifié ces équations, on fait donc des approximation qui sont les suivantes :
    - La composante horizontale du mouvement est largement plus importante que la composante verticale ( on peut alors négliger l'accélération de la vitesse verticale devant celle de la vitesse horizontale, ce qui amène à la relation de l'hydrostatique. ).
    - La pellicule de fluide atmosphérique est mince par rapport au rayon de la Terre(approximation de la pellicule sphérique mince).
    - L'atmosphère est en rotation et est isolée .
    - Il n'y a pas d'échange de chaleur avec l’extérieur ( hypothèse adiabatique ).

    Si l'on regarde le flux à grande échelle dans l'atmosphère, on remarque que ces approximations collent assez bien à la réalité. En effet a grande échelle, le flux à une composante horizontal beaucoup plus importante que sa composante verticale par exemple.
    C'est avec ces équations que les modèles de prévisions numérique prévoient le temps futur d'ailleurs ( avec d'autre équation dedans bien sur ).

    Ces équations primitives de base sont donc au nombre de 3 :
    - Equation de continuité ( conservation de la masse ).
    - Equation du mouvement ( conservation du moment angulaire ).
    - Equation de la thermodynamique ( conservation de l'énergie ).

    Selon la simulation désirée on peut rajouté aussi une Equation de l'humidité spécifique, si l'on veut incorporé le fait que l'atmosphère contient de l'eau sous forme de vapeur d'eau.

    Equations primitives atmosphérique en coordonnées verticale de pression

    Ces équations peuvent être calculé en différentes coordonnées . Si l'on utilise la pression comme coordonnées verticale et que l'on néglige la courbure de la terre on obtient une représentation assez simple des processus mise en jeu .

    1) Pour l'équation du mouvement

    On prend en compte toute les force qui agissent sur le fluide c'est à dire ( Coriolis, force centripète, force de gravité, force de pression et la friction ). On obtient ainsi une équation qui montre que le mouvement d'une particule est due à l'ensemble des force s'exerçant sur le fluide au point P et à l'instant T :



    En partant de la gauche ; le premier terme est la dérivée du mouvement par rapport au temps . Il est égale au 2e - 3e - 4e + 5e + 6e terme . Le 2e terme c'est Coriolis, le 3e c'est la force de pression, le 4e c'est la gravité, le 5e c'est la force centripète et le dernier c'est la friction .

    Quand on fait l'approximation géostrophique, on néglige la friction et la force centripète et l'on obtient une équation ou coriolis et le gradient de pression s'équilibrent. Le fait que le mouvement est purement horizontal ( équilibre géostrophique donc vent non divergent ) fait que le terme de gravité est nul . Donc les équation pour le vent géostrophique sont :





    2 )Equation de continuité

    Elle stipule qu'il n'ya aucune création et aucune perte de masse . Elle lie donc la divergence/convergence de la masse horizontal avec le mouvement vertical . ( Si l'on chauffe les basse couche de l'atmosphère par exemple à un endroit d'échelle locale , l'air va monté et va créer un vide en dessous de lui qui sera compensé par un apport d'air horizontal ).

    Elle se note :



    Ici on dérive le vent zonal par rapport à l'axe zonal, le vent méridien par rapport a l'axe méridien et le mouvement vertical par rapport a la verticale ( en coordonnées de pression d'ou le p ).
    Tout cela est égal à 0 car rien ne se perd et rien ne se crée en terme de masse. Si un des 3 membres évolue , il sera compensé par un autre, de telle façon que l'équation soit toujours = à 0.

    3) Equation de la thermodynamique

    Elle est liée au principe de la conservation de l'énergie .

    Elle se noté :



    Bon ce qu'il faut retenir ici c'est que l'énergie se conserve . Si un système fermé voit son énergie interne changée, cette variation est égal à l'énergie échangée avec l’extérieur sous forme de travail & sous forme de chaleur. Si l'on additionne tout cela, on revient a la même valeur de départ . On a réussi Very Happy Laughing

    Equations primitives en coordonnées sigma

    On avait dit que ces équations pouvait être calculé en différentes coordonées . Passons maintenant à leur forme dans des coordonnées dîtes sigma.
    Pour décrire vite fait ce qu'est cette coordonnées sigma imaginez qu'on coupe la troposphère( avec un couteau capable de couper de l'air .. Suspect ) en 3 parties : Le sol, le milieu de la troposphère et la tropopause .
    Le sol vaudra 1 sigma, le milieu de la troposphère vaudra 0,5 sigma et la tropopause 0 sigma .
    Quand on utilise des coordonées sigma en météo, on fait géneralement aussi une projection polaire stéréographique . Ne paniquez pas, celà va allez Razz
    Cette projection montre juste la gueule de la carte géographique sur laquelle on travail. On voit l'Hémisphère Nord avec le pôle au milieu de la carte en fait . CE type de carte est assez déformée et c'est pour celà qu'on utilise pas cette pratique pour les tropique et l'équateur car la déformation devient trop importante , voici à quoi celà ressemble :



    Ce qui nous donne une autre simplification des équations primitives atmosphérique, mais moins intuitive que la première . C'est pour cela que je en prendrais que 2 exemple.

    Pour la température :



    Pour l'épaisseur en pression :



    Ici on raisonne plutôt en terme de quantitée arbitrairement petite ( le delta minuscule ), alors que dans le premier cas ( plus simple à mon gôut) on raisonne en terme d'évolution temporelle ( d'ou la dérivation ).
    On voit donc que ces équations ne sont pas très simples ( alors que ce sont déjà des versions simplifiées des équations de Navier stokes Laughing ).
    Les solutions de ces équations nous donnent des résultats qui ont la forme d'ondes sinusoïde :



    Celà met déjà en évidence le caractère ondulatoire de l'atmosphère aux moyenne latitudes et a grande échelle .
    Evidemment, on passe par des simplification ( on néglige les non linéarité & l'on fait des approximations ), mais cela donne un bon aperçu de la gueule des fondements dynamique de l'atmosphère ^^

    Voilà j'ai fait un petit tour d'horizon, vous me direz quand même si vous avez un temps soit peu suivit ou je voulais en venir Smile



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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 27 Fév - 12:52

    Je vais quand même vous faire une petite digression sur l'équation dite en oméga . Elle permet de calculé de manière assez simple et efficace les mouvement verticaux de l'atmosphère . Mais le seul hic c'est que l'équation en oméga ( lettre grec minuscule w ) donne une information diagnostique et non pronostique .
    C'est une intégration de l'équation de continuité, de la thermodynamique et du tourbillon , elle ressemble à ça :



    Le terme de gauche c'est un opérateur complexe dont on ne parlera pas ici, et le w qui le suit représente la vitesse verticale . Celà est égale au 2e + 3e terme . Le 2e terme représente l'advection différentielle de tourbillon ( dont j'avais parlé dans le sujet le norvégien c'est fini ) . Laughing

    Le 3e terme représente l'advection d'épaisseur .

    Plus concrètement, voilà ce que celà donne pour l'advection différentielle de tourbillon :

    [img][/img]

    Ici les ligne noir représente les isohypses a 500 hpa, superposé a un dîpole anticyclone/dépression de basse couche.
    Comme la tronche des anomalie est assez circulaire en basse couche, l'advection de tourbillon est faible . Or en altitude ou la circulation est largement ondulatoire, les advections de tourbillons sont fortes. Celà nous donne une configuration ou l'advection de tourbillon augment avec l'altitude . Au dessus de l'anticyclone de surface on à une advection de tourbillon négative qui s'amplifie avec l'altitude . Au dessus de la dépression de surface on a une advection de tourbillon positive qui s'amplifie avec l'altitude . Cela nous amène à avoir des mouvement subsident au dessus de l'anticyclone, et des mouvement ascendant au dessus de la dépression .
    Dans le tas il y'a, par le biais des mouvement verticaux, un réchauffement/refroidissement adiabatique. ( Au dessus de l'anticyclone l'air se réchauffe par compression adiabatique, au dessus de la dépression l'air se refroidit par détente adiabatique ).

    Passons maintenant à l'autre terme qui nous intéresse, l'advection de température :



    A l'Est de la dépression de surface l'on a une advection chaude, celà provoque des ascendance. A l'Ouest par contre on a une advection froide qui génère de la subsidence. ( C'est l'inverse pour l'anticyclone de surface ).

    Pour la dépression de surface, l'advection chaude augmente les épaisseurs en basse couche, ce qui provoque une hausse du géopotentiel de la crête a l'avant de cette dépression. Le tourbillon géostrophique anticyclonique de la crête augmente. Mais comme l'advection de tourbillon à ce niveau est nulle, la seule manière pour augmenté ce fichu tourbillon c'est de la divergence . Résultat, on à une création d'ascendance a l'avant de la dépression de surface lié à l'advection de température .


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Fantomon le Mer 27 Fév - 13:53

    Trop compliqué pour moi, sérieusement comment retenir une formule pareille?


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 27 Fév - 13:56

    Fantomon a écrit:Trop compliqué pour moi, sérieusement comment retenir une formule pareille?

    Il n'est pas question de la retenir . Ce qu'elle montre est expliqué en "français" juste en dessous avec les 2 schémas Razz

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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Fantomon le Mer 27 Fév - 13:57

    T'as un niveau bac+5 en physique/maths?


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 27 Fév - 14:01

    Fantomon a écrit:T'as un niveau bac+5 en physique/maths?

    Certainement pas . Enfin j'en sais rien, mais non quand même pas.

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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Fantomon le Mer 27 Fév - 14:03

    Mais moi tu penses que je peux avoir ton niveau en météo?


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 27 Fév - 14:04

    Fantomon a écrit:Mais moi tu penses que je peux avoir ton niveau en météo?

    Je pense que oui, mais pas tout de suite Wink

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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Fantomon le Mer 27 Fév - 14:07

    Il faut combien de temps?


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 27 Fév - 14:10

    Le temps que ça prendra . Tu ne peut pas forcé une graine à poussé plus vite que la nature ne le permet . Apprendre un peu chaque jour c'est ça la solution, même si sa prend quelques années .

    D'ou le célèbre proverbe que je cite Love :

    " Rome ne s'est pas construit en un jour "
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Jeu 28 Fév - 9:53

    Donc on à vu les équations primitives atmosphériques qui sont des versions simplifiées des équations de Navier-Stoke comme je l'avais dit plus haut . En effet, dans les équations de Navier-stoke, on se place dans des cas beaucoup plus général et sans faire autant d'hypothèse que dans les équations primitives atmosphériques .On incorpore aussi d'autre contraintes qui s'exerce sur le fluide.
    Celà rend les équations de NS beaucoup plus compliquées Laughing

    L'équation de continuité ( de conservation de la masse ) devient :



    Ici dérivées ( partielle ) de la masse volumique dans le temps + la divergence de "pv" qui représente la masse volumique du fluide et sa vitesse eulérienne .

    Pour l'équation de la quantité de mouvement :



    On voit que ça devient compliqué par rapport aux équations primitives Razz Ici la dérivées de la masse volumique du fluide et de son déplacement eulérien + la divergence de la masse volumique pendant son déplacement eulérien produit tensoriel de la vitesse de déplacement eulérien de la particule. Celà est égale à une divergence négative de la masse volumique de la particule + la divergence du tenseur de contrainte + la masse volumique du fluide produit des forces massiques s'exerçant dans le fluide.

    Voilà on aura compris que c'est l'heure de fumé un bon pétard car ça devient franchement de la fumette de matière grise tout ça j\'ai faim !

    Pour terminé ici l'équation de la thermodynamique :



    Dans les 3 équations que l'on vient de voir, celà représente toujours la conservation de la masse, du moment cinétique et de l'énergie, mais applicable dans des cas plus nombreux et plus complexe et en prenant plus de choses en compte, qu'avec les équations primitives atmosphériques, ce qui les rend beaucoup plus compliquées.

    Ces équations aussi lourdes soit elle ne peuvent pas être résolues, hormis dans des cas simplifiés et rares. On ne sait résoudre ces équations que si l’état du fluide à l’instant initial est suffisamment proche du repos. Celà n'est pratiquement jamais le cas dans notre atmosphère. Il n'ya pas d'autres choix que de chercher des solutions approchées de ces équations.
    D'ailleurs, la résolution complète des équations de Navier Stoke est un des problèmes du millénaire, et celui qui pourra le démontrer aura une récompense d'1 millions de dollares .
    En tout cas de notre côté mieux vaut se limité aux équations primitives qui sont dejà largement utile pour notre compréhension .


    Dernière édition par PassionMétéo le Jeu 28 Fév - 11:16, édité 1 fois
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Jeu 28 Fév - 11:13

    Je tiens quand même a précisé 2 choses Razz

    - on peut retrouver des versions différemment ecrites de ces équations suivant le cas dans lequel elles sont appliquées ou suivant les hypothèses dans lesquelles on se place . Mais elle signifieront toujours la même chose, autrement dit la conservation de la masse, du mouvement et de l'énergie .

    - Quand je vous traduit l'équation pour simplifié, il y'a obligation d'ommetre certaines choses . Par exemple ici :



    Au début je vous avait dit : dérivées de la masse volumique du fluide et de son déplacement eulérien. Celà n'est pas faux mais pas vrai non plus XD Il est mathématiquement plus judicieux de dire que c'est la dérivée du produit usuel des fonctions p et v .

    Enfin c'est une précisions qui n'est pas importante mais c'est au cas ou quelqu'un aurait remarqué, on ne sait jamais ^^ Razz Et moi je suis soucieux du détails donc je me sent plus léger maintenant que j'ai préciser celà XD

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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Fantomon le Jeu 28 Fév - 14:40

    Là je comprends un peu mieux, ça me rassure.


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Jeu 28 Fév - 14:42

    Fantomon a écrit:Là je comprends un peu mieux, ça me rassure.

    Tu viens de te reconnecté y'a quelques minutes et tu as dejà compris ? Suspect

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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Fantomon le Jeu 28 Fév - 14:49

    Disons un peu mieux. J'ai rêvé de cours de maths.


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mar 26 Mar - 16:12

    Ici on voit l'anomalie en géopotentiel depuis le début de l'année :



    Pour ceux qui ont du pâté de matière gris dans le cerveau, vous aurez entendu que ce genre de configuration provoque un jet décalé largement au sud ( gradient de géopotentiel marqué sur la méditerranée par exemple ).

    Or le gradient de géopotentiel est aussi marqué au nord ( Scandinavie par exemple ). Vous vous demanderez logiquement pourquoi il n'yavait quasiment pas de jet à cet endroit .

    Voici une équation qui explique celà : U = (-1/f)* d(phi)/dy


    Phi = z*g ( avec g = environ 9.81 m/s²).
    En gros, phi est une énergie massique ( J/kg ou m²/s²).
    Par exemple un Z500 à 5500m c'est égal à phi 53954 m²/s². d(phi)/dy c'est donc des m/s²ce qui représente une accélération . N'oubliez pas qu'il y'a un lien entre énergie et accélération ( une tornade qui accélère une brindille à 400 Km/h peut lui faire percer le béton Razz ).

    So, si le gradient de Z esr de 1e-5, le gradient de phi est de 9.81e-4 m/s².

    Revenons à notre équation :

    U = (-1/f)* d(phi)/dy

    Aux hautes latitudes, f augmente . Par exemple vers 40°N f = 1e-4 et vers 60°N f = 1.5e-4 .Par exemple, si d(phi)/dy donne 1m tout les 10 Km (du nord au sud de la france on passe de 5500m à 5400 m pour le Z500 ), ce qui fait 9.81e-4, alors à 40°N u=9.81e-4/1e-4)= 9.81 m/s et pour 60°N u = 6.54 m/s.

    Pour faire uns synthèse, quand on divise par un truc qui devient de plus en plus grand, le resultat et de plus en plus petit . Donc, comme f augmente avec la latitude, u diminue d'autant .
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Lun 1 Avr - 10:18

    Tant que j'y suis l'équation pour le vent méridional c'est V = (1/f) x d(phi)/dx Razz
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Dim 7 Avr - 9:26

    Les équations des tourbillons sont très importantes pour comprendre la dynamique atmosphérique .

    Pour le tourbillon relatif il est égal à :



    Les petits r à coté du u ( vent zonal ) et v ( vent méridional ) indiquent qu'on parle de vent et de vitesse relatif ( ne prenant pas en compte la force de Coriolis ) .
    Les équations liées à u et v on été donné dans les posts précédents Wink

    Pour en parlé, on utilise le tourbillon absolu :



    Le 'a' indique que l'on parle de vitesse absolu, autrement dit on ajoute Coriolis ( f ) au tourbillon relatif. Pour simplifié , l'équation du tourbillon absolu est :

    Ta = Tr + f

    Avec

    Un autre tourbillon, encore plus utile car il possède une grande capacité de conservation c'est le PV ( Potential vorticity ) .

    Son équation est PV = (Ta x grad(theta))/p

    En gros le 'p' n'est pas très important, en général on ne le marque pas . Comme il se conserve le PV permet de comprendre aisément certain phénomène, par exemple les ondes de rossby .


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Dim 7 Avr - 14:54

    PassionMétéo a écrit: Comme il se conserve le PV permet de comprendre aisément certain phénomène, par exemple les ondes de rossby .

    Petite démo quand même Razz

    Le gradient planétaire de pression est dirigé en général des moyennes latitudes vers les tropiques , cela créer des séries d'ondes qui sont la représentation d'une force de rappel sur ces particules qui ont changé leur position d'origine . Le Pv étant conservé ( Ta x grad(theta) ), en montant vers les hautes latitudes, le gradient de theta augmente, le tourbillon absolue va diminué. Voilà comment on par dans une courbure anticyclonique . C'est pareil pour les ondes qui se dirige vers les basses latitudes : le gradient de thêta va diminuer, donc le TA va augmenté, voilà comment on part dans une courbure cyclonique.


    Dernière édition par PassionMétéo le Ven 26 Avr - 20:49, édité 1 fois
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  Emmsoleil le Dim 7 Avr - 21:11

    Merci c'est intéressant !
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Lun 8 Avr - 9:18

    Emmsoleil a écrit:Merci c'est intéressant !

    Wink

    Après moi je fais ça comme ça, mais si personne comprend faut le dire, que je m'arrête hein Embarassed
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Lun 22 Avr - 18:04

    J'ai rien de spécial à faire ce soir, voici un petit truc que j'ai scanner car c'est plus simple pour les symboles ^^ Razz

    On va montrer les différentes dérivées qui existent en gros, explication assez simple bien sur , je suis pas mathématicien et vous non plus jusqu'à preuve du contraire Laughing



    Donc en premier on à la dérivée classique d'une fonction à une variable ( x ici ).
    Donc par exemple d(2x²)/dx = 4x

    En deuxième on a la fameuse dérivée partielle ( le d rond ). C'est donc un procédé qu'on emploie pour dérivée une fonction à plusieurs variables ( x, y, z dans l'exemple ). En général en météo, c'est la dérivée la plus employée.

    En troisième on a le symbole delta minuscule qui signifie dans les cas météorologique "quantitée arbitrairement petite ", donc petite devant ce qu'on veut étudier . Dans la formule de la variation d'entropie que j'ai mis en exemple, on a delta minuscule devant le Q. Celà signifie qu'on gagne ou perd une quantité d'énergie petite devant le terme T.

    En 4e, on à le delta majuscule, bon pas très important, cela représente une variation macroscopique, donc la température finale moins la température de départ dans l'exemple . On trouve ainsi la valeur de l'évolution ( en Degrès par exemple ).

    En dernier on à la dérivée totale, c'est la somme de toute les dérivées partielle d'une fonction . Par exemple pour f(x, y, z ) la dérivée totale = les dérivées partielle de x, y, et de z . C'est ce qui est montré dans l'exemple Wink

    Voilou Razz
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mar 23 Avr - 10:30

    Petite digression sur les champs de scalaire et les champs vectoriels Razz
    ( Oui j'ai vraiment rien d'autre à faire mais bon Laughing Quand on aime on compte pas ).

    Donc en météorologie il y'a principalement 2 champs qui sont très souvent employés : les champs scalaires et les champs vectoriels .
    Un champ scalaire (f) est une fonction à 4 variables, 3 d'espaces ( x, y, z ) et une variable de temps (t). A chaque instant (t), chaque points de l'espace repérés par les coordonnées (x, y, z) est caractérisé par un nombre réél f (x, y, z) appelé un scalaire. Les champs scalaire les plus souvent rencontrés en météorologie sont la température, la pression et la masse volumique .

    Les vecteurs sont des objets matheux qui permettent de décrire des paramètres qui ne peuvent pas être caractérisé à un instant donné en un point donné, par un nombre réel unique ( un scalaire ), mais par un module qui est leur norme, une direction et un sens . Dans un espace à 3 dimensions, un vecteur peut aussi être décrit par ses 3 composantes, chaque composantes étant la mesure algébrique de la projection orthogonal du vecteur sur un des axes du repère. Dans un espace à 2 dimensions ( Cf mes schémas Razz ) un vecteur est décrit par 2 composantes uniquement . Voici le schéma d'un vecteur :




    L'ensemble des vecteurs caractérisant l'état de toute l'atmosphère au cours du temps forme un champ vectoriel V(x,y,z,t) de composantes U(x,y,z,t), V(x,y,z,t), W(x,y,z,t).

    Il existe 2 opérations de vecteur importantes en météorologie : Le produit scalaire et le produit vectoriel .Comme leur nom l'indique, le produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaire et le produit vectoriel de 2 vecteurs et un vecteur.


    Le produit scalaire


    V1 et V2 sont 2 vecteurs dans l'espace à 3 dimensions de composantes (U1,V1,W1) et (U2,V2,W2) dans un repère orthonormé (0,x,y,z).
    Le produit scalaire V1 x V2 dépend des normes de chacun des vecteurs mais aussi de l'angle entre les 2 vecteurs(1).

    1)


    Le produit scalaire est aussi le produit de la norme de V1 par la mesure algébrique de la projection de V2 sur a direction de V1 ( positive si elle est dans le même sens que V1, négative si elle est dans le sens inverse ).On obtient le même résultat en faisant le produit de la norme de V2 par le masure algébrique de la projection de V1. Le produit scalaire est donc commutatif : V1 x V2 = V2 x V1 . Il est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux ou si l'un des deux vecteurs est nul. ( 2 )

    2)



    La légende de cette image servira à mieux comprendre tout ce bordel Razz

    Donc cette image représente le produit scalaire. a) La projection de V2 sur la direction de V1 a pour mesure algébrique |V2|cos(alpha). b) La projection de V1 sur la direction de V2 a pour mesure algébrique |V1|cos(alpha). Le produit scalaire de V1 par V2 est donc indifféremment égal au produit de la norme de V1 par la mesure algébrique de la projection de V2 ou inversement . c) Le produit scalaire est positif lorsque V1 et V2 forment un angle aigu ( cos(aplha)>0 ), il est négatif si ils forment un angle obtus .


    On peut aussi calculer le produit scalaire de 2 vecteurs en utilisant directement leur 3 composantes :

    V1 x V2 = U1 x U2 + V1 x V2 + W1 x W2

    Le produit vectoriel


    Le produit vectoriel V1 ^ V2 = V3 est un vecteur perpendiculaire au plan formé par V1 et V2. Sa norme est proportionnelle à l'air du parallélogramme formé par les 2 vecteurs (3). On le note :



    Ou alpha est l'angle formé par les 2 vecteurs.

    Le sens de V3 est tel que le trièdre (V1,V2,V3) soit direct ( voir annexe à la fin de ce post Wink ). Celà signifie que le produit vectoriel ( contrairement au produit scalaire ) n'est pas commutatif . Le produit vectoriel de 2 vecteurs non nuls est nul si les 2 vecteurs sont colinéaires ( alpha = 0).

    3)



    Légende : Cette image représente le produit vectoriel . Celui entre V1 et V2 est un vecteur V3 orthogonal au plan formé par V1 et V2 & orienté de tel manière que le trièdre (V1,V2,V3) soit direct. La norme de V3 est donné par la surface du parallélogramme hachuré , dont la valeur est |V1||V2|sin(alpha).

    Produit mixte

    Enfin il existe un produit qui combine les 2. Exemple :

    V1 x ( V2^V3 )

    Il est positif si les 3 vecteurs forment un trièdre direct. On s'en sert pour calculer le volume du parallèlement dont les arrêtes sont les 3 vecteurs.

    Annexe :

    Un repère orthonormé (O,i,j,k) est direct si :
    - Règle du bonhomme d'Ampère : Un homme traversé par le vecteur k des pieds à la tête à le vecteur i à sa droite et le vecteur j à sa gauche ;
    -Règles des 3 doigts ( main droite ) : Le vecteur k est aligné dans la direction de l'index, le vecetru j est aligné dans la direction du pouce, le vecteur i est aligné dans la direction du majeur .

    En conclusion, le vecteur résultant d'un produit vectoriel V1 ^ V2 est dirigé sur la gauche d'un bonhomme d'Ampère traversé par V1 des pieds à la tête et ayant le vecteur V2 à sa droite .



    PS : Je sais que le dessin est pourrave, mais bon c'est toujours ça de plus qu'un texte de bucheron balancé dans la tronche Laughing


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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  etboum le Mer 2 Avr - 9:18

    Higurashi a écrit:
    Un autre tourbillon, encore plus utile car il possède une grande capacité de conservation c'est le PV ( Potential vorticity ) .

    Son équation est PV = (Ta x grad(theta))/p

    En gros le 'p' n'est pas très important, en général on ne le marque pas . Comme il se conserve le PV permet de comprendre aisément certain phénomène, par exemple les ondes de rossby .

    Je connaissais pas cette notation avec p, ce ne serait pas la masse volumique plutôt ?
    A moins qu'on puisse exprimer le toubillon pot d'Ertel en coord de p ?
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 2 Avr - 10:41

    Si, c'est la masse volumique Wink
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Ven 18 Avr - 19:16

    Les équations quasi-géostrophiques

    a) Blabla matheux

    Le quasigéostrophisme c'est donc le quasi équilibre entre la force de pression et la force de coriolis : f0k^vg = -1/p0gradh(p).
    A noter qu'on décompose le vent réel en une partie géostrophique non divergente et une partie agéostrophique qui explique toute la divergence du vent réel.

    A grande échelle pour mesurer l'importance de la force de coriolis on utilise un nombre adimensionel qu'on appel le nombre de Rossby. Il se note : R0 = U/f0L

    Quand le nombre est petit devant l'unité, la force de coriolis est d'un ordre de grandeur supérieur à l'accélération horizontale.

    En coordonnées cartésienne, les composantes du vent géostrophique sont :




    Et le tourbillon géostrophique se note :



    Les dérivées secondes mettent en évidence la variation de la pente.

    Si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle ;
    si elle est négative sur un intervalle, la pente diminue, la courbure est vers le bas, la fonction est dite « concave » sur cet intervalle ;
    si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ;
    si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.

    Si le laplacien est positif on a donc une courbure convexe, donc une zone de maximum de tourbillon.

    Deux hypothèses importantes de l'approximation quasi-géostrophique sont :




    La seconde approximation fait intervenir le beta plan ( on admet une valeur constante f0 pour le Vg, et on approxime sa variation en latitude avec .

    Cependant il n'est pas permis de remplacer la vitesse uniquement pas sa vitesse géostrophique dans le terme de coriolis, donc l'accélération peut être réécrite comme :

    .

    L'équation de mouvement horizontal approximatif a donc la forme :



    Si l'on exprime l'équation ci dessus pour chacun de ses composantes on a :




    En prenant  et en notant que le vent géostrophique est non divergent l'équation du tourbillon est :



    Puisque f ne dépend que de y, et que la divergence du vent agéostrophique peut être écrits en termes de w fondées sur l'équation de continuité :



    l'équation devient .

    En définissant la tendance du géopotentiel
    et en notant que la différenciation partielle peut être inversée, l'équation (10) peut être réécrite en termes de Chi comme :



    Le côté droit de l'équation dépend des variables X et W. Une équation analogue dépendant de ces deux variables peut être dérivée de l'équation d'énergie thermodynamique :



    ou ou theta est la température potentielle correspondant à la température de base de l'état dans la moyenne troposphère.

    =

    En multipliant par f0 et en différenciant respectivement p et en utilisant la définition de X,  on obtient :



    Si, pour simplifier {J}  vaut 0, ce qui élimine W dans les équations ce dessus, on obtient :



    L'équation ci dessus est souvent désigné comme l'équation de la tendance géopotentielle. Elle concerne la tendance du géopotentiel locale (terme A) pour la distribution verticale d'advection de tourbillon (terme B) et de l'advection d'épaisseur (terme C).

    En utilisant la règle de la chaîne de différenciation, le terme C peut être écrite comme



    Mais sur la base de la relation du vent thermique :



    En d'autres termes, est perpendiculaire à et le second terme de l'équation disparaît. Le premier terme peut être combiné avec le terme B dans l'équation  qui, après division par peut être exprimé sous la forme d'une équation de conservation :



    où {q} est le tourbillon potentiel quasi-géostrophique défini par :

    .

    Les trois termes de l'équation sont, de gauche à droite, le tourbillon relatif géostrophique, le tourbillon planétaire et le tourbillon d'étirement.

    b) Que veux dire tout ce blabla ?

    Pour l'équation de la tendance du géopotentiel :



    Le membre de gauche, c'est le laplacien 3D de Khi. À partir de ce champ, on peut remonter à Khi assez « facilement » (tout est relatif ^^).
    Là encore, on n'est plus proche des ondes de Rossby qu'on ne pourrait le croire. Vu qu'objectivement, c'est absolument imbuvable ainsi présenté, on réécrit le membre de gauche avec une perturbation sinusoïdale. C'est une approche souvent employée en sciences de l'atmosphère. J'y reviendrais plus longuement pour les ondes de Rossby, mais en gros on peut écrire :

    ∇²[χ (x,y,p,t)] = ∇²{χ0 (p,t)exp[i(kx + ly)]} = -(k² + l²)χ (x,y,p,t)

    Donc :

    ∇²[χ (x,y,p,t)] ~ -χ (x,y,p,t)

    Le tilde, c'est pour dire se comporte comme.
    En français, j'ai juste réécris χ, la variation temporelle du géopotentiel, en tant qu'onde du plan (x,y) pour simplifier le bazar. Je pense que cela est obscur pour beaucoup car il n'y a pas grand monde qui doit savoir gérer les ondes avec l'exponentielle complexe, mais cela n'a rien de bien tordu. J'en reparlerais pour les ondes de Rossby. L'idée est bien de dire que -χ est directement fonction du membre de gauche

    Pour le membre de droite, cela est plus simple contrairement à ce que l'on pourrait penser ^^

    L'équation en français peut s'écrire ainsi :

    -χ = - l'advection de tourbillon + l'advection différentielle de température avec l'altitude + chauffage différentielle avec l'altitude

    Le première, l'advection de tourbillon
    On peut se demander, il est où le tourbillon ? En fait, on peut montrer que :

    ζ = ( 1/f0 ) * ∇²Φ

    Donc :

    ζa = [ ( 1/f0 ) * ∇²Φ + f ]

    Ayez, on l'a trouvé ^^
    De plus, cette notation condensé :

    Vg * ∇ [ ( 1/f0 ) * ∇²Φ + f ]

    Veut dire la même chose que :

    ug * dζa /dx + vg * dζa /dy

    C'est juste que la première notation, c'est plus classe et cela fait moins discussion de comptoir ^^
    Et on reconnaît la même forme que pour l'advection de température, que pour l'advection de vent, …
    Bref, rien de nouveau sous le Soleil

    On voit donc qu'en fait, c'est un truc du genre :

    -χ ~ -f * advection de tourbillon-absolu

    Cela veut dire que Khi est négatif, donc le géopotentiel se casse la figure, si il y a advection de tourbillon positif, toutes choses étant égale par ailleurs.

    La deuxième, l'advection différentielle de température avec la pression
    C'est pareil, où qu'elle est la température ? ^^

    En fait, on a dit juste au dessus que :
    dΦ / dp = -(R * T) / p

    Ayez, on l'a déjà retrouvé la température ^^
    C'est pareil, ce truc qui fait flipper :

    d / dp [-Vg * ∇ ( -dΦ / dp)]

    C'est la même que :

    R * { d / dp [-ug * d /dx (T/p) - vg * d /dy (T/p) ] }

    Là encore, on retrouve un truc un peu plus comme avant, avec de l'advection zonale et méridionale de température.

    -χ ~ -[ (R * f² ) / σ ] * [ d (advection de température) / dp ]

    Ce qui parle plus je pense (enfin, j'espère ^^ )
    Ici, σ est un nouveau copain également, mais c'est un proche de Sp rencontré précédemment pour ceux qui se souviennent. Il est lui aussi lié à l'idée de stabilité statique.
    Si l'advection de température diminue avec l'altitude (augmente avec la pression, là encore attention au signe, z et p évolue en sens inverse), Khi sera positif donc le géopotentiel gonfle, toutes choses étant égale par ailleurs.
    Au contraire, si l'advection augmente avec l'altitude, Khi sera négatif donc le géopotentiel baisse, toutes choses étant égale par ailleurs.
    Par exemple, si on a une grosse advection froide en basse couche et une advection nulle en moyenne tropo, c'est bien une advection qui augmente avec l'altitude. Donc Khi est négatif, le géopotentiel se casse la figure, toutes choses étant égale par ailleurs.

    La troisième, le chauffage différentiel
    Là, c'est un peu plus immédiat. On voit que c'est un truc du genre

    -χ ~ -[ (R * f² ) / (Cp * σ) ] * [ d (J/p) / dp ]

    C'est normal que cela vous évoque vaguement quelque chose, c'est exactement la même que pour l'advection différentielle de température ^^
    Les conclusions sont les mêmes, une source froide en basse couche, c'est le géopotentiel qui baisse, toutes choses étant égale par ailleurs.
    Une source froide en basse couche, c'est le géopotentiel qui monte, toutes choses étant égale par ailleurs.

    Donc, le message de cette équation.
    L'évolution temporelle du géopotentiel est essentiellement fonction de l’advection de tourbillon et de l'advection différentielle de température avec l'altitude. Le terme source est souvent négligeable, mais ce n'est pas toujours vrai. Par contre, dans l'idée, il agit exactement comme l'advection différentielle de température avec l'altitude.

    Pour l'équation en oméga :



    Pour rappel, ω est la vitesse verticale en coordonnées de pression. Comme la pression et l’altitude varie en sens inverse :

    ω ~ -w

    Avec w, la vitesse verticale en coordonnées cartésiennes.
    Si ω est négatif, w est positif, l'air circule du bas vers le haut.
    Si ω est positif, w est négatif, l'air circule du haut vers le bas.

    Je ne vais pas rentrer aussi profondément dans le détail que précédemment, l'idée général reste la même. Si vous faites attention, elle est assez similaire à l'équation précédente. En effet, si le géopotentiel baisse, omega est positif et donc on a un lien immédiat et direct entre χ et ω au signe près.
    Plus rigoureusement :
    ω = dp / dt
    χ = dΦ / dt
    ω / χ = dΦ / dp
    Donc on retrouve la même au chose près et à un facteur près qui est une dérivation par rapport à p.
    Le membre de gauche se comporte donc comme -ω

    Ensuite, viens l'advection différentielle de tourbillon avec la pression. On retrouve ici, à la dérivation par rapport à p près. Pour le Khi, c'était l'advection de tourbillon « tout court ».
    Comme il a été dit à propos du troubillon, pour augmenter le tourbillon il n'y a pas 36 solutions, soit la divergence (baisse du tourbillon relatif) soit la convergence (hausse du tourbillon relatif).
    Prenons le cas d'une particule avec un faible tourbillon (tourbillon anticyclonique) dans une région de fort tourbillon (tourbillon cyclonique). Cela s’appelle une advection négative de tourbillon. Pour restaurer l'équilibre, la rotation du nouvel arrivant va devoir augmenter. Cette hausse du tourbillon implique une convergence. Si cette advection se renforce avec l'altitude, la convergence se renforce avec l'altitude, provoquant un mouvement subsident. Si on regarde l'équation, cela se tient.

    Pour les autres termes, si par la grâce de Dieu quelqu'un est arrivé jusqu'ici, c'est la même logique que la tendance du géopotentiel, sauf qu'on perd la différentielle rapport à p pour les mêmes raisons.

    Pour l'équation du TP:



    Les dérivées sont notées avec des indices. Cela se rencontre assez souvent, et il faut comprendre que :

    ζt = dζ / dt

    Là encore, je ne vais pas m'appesantir, je vais vous le lire « en français » et expliquer briévemment.
    C'est donc :
    La variation de tourbillon relatif = L'advection de tourbillon absolu par le vent géostrophique - l'advection par le vent vertical de tourbillon relatif – la divergence du vent géostrophique + l'inclinaison d'un tourbillon dans la verticale

    Le premier terme, c'est à nouveau un terme d'avection tel qu'on le connait, c'est du type u * dζ / dx + v * dζ / dy.
    L'advection par le vent vertical est affecté du signe « - » à cause du signe de ω, opposé à celui de w.
    La divergence du vent géostrophique, c'est en fait l'étirement du vortex, tel que vu précédemment. Si le vortex se disperse, le tourbilon relatif diminue pour conserver le tourbillon absolu, et réciproquement. D'ailleurs, on retrouve bien le tourbillon absolu avec le terme (ζ + f).
    Le dernier terme peut sembler curieux, mais si on le tripatouille un peu, c'est en fait le redressement d'un tourbillon horizontale au départ.
    C'est en fait la même que pour un mésocyclone

    Source : Wikipedia, paix et connaissances personnelles.
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Dim 4 Mai - 18:32

    On va un peu parler des gaz parfaits. Déjà qu'est ce qu'un gaz parfait ?

    C'est un modèle de gaz ou l'on néglige les interactions électrostatiques entre les molécules composant le gaz. A la pression rencontrée dans notre atmosphère, le modèle du gaz parfait s'applique bien à l'air ( principalement composé de diazote et dioxygène ).

    L'équation des gaz parfait le plus souvent utilisée en thermodynamique est :



    Elle stipule que la pression du gaz, en pascal, multipliée par le volume massique ( en mètre cube par kg )est égale à une constante qui dépend du gaz ( pour l'air r = 287 J·kg-1·K-1 ) multiplié par la température en Kelvin.

    Prenons un exemple.



    r = 287

    Si P = 99000 et T = 283.15 alors v =  0.82 m^3 / kg.

    99000 x 0,82 = 287 x 283.15

    81 180 = 81 180

    On est bon Razz

    Parfois on retrouve aussi cette notation de l'équation des gaz parfaits :



    En fait elle signifie la même chose. On divise par la masse m, celà donne pv = (nR/m)T et on retrouve le r car r = nR/m on a donc de nouveau pv = rT.
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mar 13 Mai - 21:24

    Quelques formules de stats. Je vais y'aller assez rapidement par manque de temps mais vous allez voir on va y arriver.  lol! 

    Déjà pour commencer la simple moyenne arithmétique :

    2+4 = 6/2 = 3

    Pas de soucis jusque là Razz La formule de la moyenne est celle ci :

    ( X1 + X2 +... )/ n

    Ensuite nous avons l'écart moyen. C'est un outil qui permet de juger la dispersion des données autour de leur moyenne. On mesure l'écart entre chaque donnée et la moyenne, et l'on fait ensuite la moyenne des valeurs absolues des écarts. Sans rentrer dans les détails du bazar, si l'on se limite à une moyenne simple des écarts on se rend compte qu'on obtient zéro. Pour cela qu'on calcule avec des valeurs absolues, pour avoir une valeur finale non nulle. La formule de l'écarte moyen est :

    Em = ( |x1-m|+|x2-m|+...)/n.

    Avec m la moyenne des données et n l'effectif.

    La variance
    est un autre paramètre qui peut sembler très compliqué, mais il n'en est rien. Elle permet également de juger la dispersion des données autour de leur moyenne. Quand on regarde sa formule on se rend compte que c'est quasiment la même que celle de l'écart moyen !

    o² = [(x1-m)²+(x2-m)²+.....]/n.

    En fait le problème du signe a été enlevé en élevant les écarts au carré, ce qui amène à un résultat toujours positif ( plus besoin de parler en valeur absolues ).
    Ce traitement permet aussi à la variance d'être utilisée pour des tests statistiques alors que l'écart moyen ne le permet pas.

    Si on reprend la formule de la variance mais qu'on remplace le carré de l'écart entre une donnée x et la moyenne m des données par CE, on obtient :

    (CE1 + CE2 +...)/n

    En fait on a une simple moyenne arithmétique. C'est la moyenne des carrés des écarts séparant les données de leur moyenne. On notera au passage qu'on retrouve plus souvent n-1 au dénominateur que n.

    La variance à par contre un gros défaut, c'est que son unité est exprimée en carré. Par exemple si on tripatouille avec des kg, la variance aura la dimension kg². Un peu bizarre Razz
    Pour contrer cela on utilise l'écart type ( que beaucoup doivent connaitre à force de trainer sur les modèles météo ^^ ).

    L'écart type est tout simple, c'est la racine carré de la variance.

    En gros, il représente l'écart qu'on aurait en moyenne entre une donnée et la moyenne des données. Venus de la variance, on retombe sur ses pieds en terme de dimensions Laughing
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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

    Message  PassionMétéo le Mer 14 Mai - 9:56

    So pour aborder quelques outils statistiques plus élaborés tels que la loi normale par exemple, on va essayer de rester le plus didactique possible.

    La loi binomiale

    Déjà il en existe deux, la loi positive et négative. Ici on ne parlera que de la positive. Qu'est ce que cette loi ? C'est une loi suivi par les résultats de tirages aléatoires lorsqu'il n'ya que 2 possibilités mutuellement exclusives. Par exemple vivant ou mort. On a effectivement un binôme. La probabilité d'obtenir un résultat doit également être constante dans le temps, ce qui exclue les tirages sans remises par exemple.

    La formule de la loi binomiale est :

    P(X=k)= Ckn x pk x a n-k

    On note une loi binomiale positive de cette façon : B ( n : p ) avec n le nombre de tirages et p la probabilité de l’événement que l'on cherche à étudier. A noté que la représentation graphique de cette loi n'est pas forcément symétrique.

    La loi de Poisson

    C'est la loi vers laquelle tend la loi binomiale positive lorsque n tend vers l'infini et p tend vers 0. Elle décrit donc les cas ou l'on doit faire un grand nombre de tirages pour choper l’événement que l'on cherche. Cela lui vaut le surnom de "loi des évènements rares". En général on utilise la loi de poisson pour p < 0,1 et n > 30. Quand on s'éloigne de ces valeurs l'approximation devient de plus en plus mauvaise.

    La loi normale

    C'est la loi continue dont la densité de probabilité est :

    f(x) = ( 1/ sigma x racine carré 2 x pi ) x e^-(x-u)²/2sigma²

    Cela calme Razz

    En fait quand on applique cette formule on obtient la fameuse courbe en cloche.



    Il est intéressant de parler de la notion de loi continue d’où découle celle de densité de probabilité.

    Les lois qui ont été décrites plus haut s'appliquaient à des valeurs entières. On pouvait alors calculer la probabilité exacte. En revanche pour une variable X continue ( la température par exemple ), la probabilité que x soit égal à une valeur k précise est impossible. Il y'a une infinité de température possible ente 20 et 21 degrés par exemple.
    Par contre on peut calculer la proba' que X soit compris entre deux valeurs. Ce calcul se fait en utilisant une intégrale, en intégrant la fonction de densité de probabilité. Nous reviendrons sur cette notion plus bas.

    Le théorème central limite

    Si la loi normale est si connue et populaire, c'est en grande partie grâce à un théorème appelé "le théorème central limite ". Que nous dit-il ?

    Soient n variables aléatoires X1,X2 ... indépendantes deux à deux, distribués selon la même densité de probabilité et ayant la même moyenne u et même variance o².
    On pose :

    Y = X1 + X2 +...

    Z = ( Y - nu)/racine carré n o²

    Alors Z -> N ( 0 : 1 ) quand n tend vers l'infini.

    C'est le bordel, mais tout cela résume une chose très simple :

    Les n variables suivent une loi inconnu. Mais le théorème nous dit qu'on s'en fou de la loi qu'elles suivent car leur somme suit une loi normale quand n tend vers l'infini.
    Z est une variable centrée réduite. Mais ce procédé ne change pas de manière profonde la loi suivi.
    On nous dit que Z suit une loi normale centrée réduite , c'est donc que Y suivait une loi normale non centrée réduite...

    Prenons un exemple concret.

    Revenons au calcul d'une moyenne. On additionne les valeurs entre elles et on divise ensuite par le nombre de valeurs. Maintenant posons quelques simples questions. Chacune des n valeurs est elle connue à l'avance ? Non, ce sont des variables aléatoires.
    Connaitre X1 vous permet il de connaitre X2 ? Non, donc elles sont indépendantes.
    Sont elles tirées dans des distributions différentes ? Non, elle sont donc issues de la même distribution statistique et ont donc la même densité de probabilité.
    On peut dire aussi que X1,X2 ...auront la même moyenne et la même variance .
    Conclusion, lorsque l'on additionne n variables aléatoires indépendantes distribuées selon la même densité de probabilité , de même moyenne et de même variance on se trouve dans les conditions du théorème central limite.

    La TCL est valable uniquement si n tend vers l'infini. Cependant en sciences, l'infini commence à 30 ^^ Ouf on est sauvé Razz

    Ce qui nous amène à la conclusion suivante :

    Une moyenne suit une loi approximativement normale dès qu'elle est établie à partir d'un échantillon d'une trentaine d'individus.

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    Re: Équations météorologiques de Base ( Primitives )

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